segunda-feira, 21 de setembro de 2015

Um belo desafio

Nas duas últimas semanas, fui abordado algumas vezes por alunos de cidades diferentes me trazendo o seguinte desafio: descobrir o valor de x na figura abaixo.

Calcular o x pode parecer banal em uma primeira olhada, mas se fosse assim esses alunos já o teriam encontrado. Alguma dificuldade o exercício deve ter!

Os americanos tem uma técnica chamada "angle chasing", algo como "caça ao ângulo". Em geral os alunos fazem suas caças aos ângulos apenas usando soma dos ângulos internos (igual a 180º) e ângulos externos, e com isso, literalmente rodam em círculos, sem resultado aparente.

Nos problemas mais exigentes, uma boa caça ao ângulo precisa lançar mão de muitas outras ferramentas: ângulos inscritos, polígonos inscritíveis, triângulos isósceles e equiláteros, propriedades das mediatrizes e bissetrizes, congruências, quadriláteros notáveis (incluindo a pipa, pouco estudada no Brasil) e paralelas. Por isso, é tão importante estudar bem a geometria, conhecer os teoremas e propriedades.
O exercício proposto não é simples. A primeira resolução que fiz foi por lei dos senos, mas não estava satisfeito com ela. O problema tinha toda a cara de possuir uma resolução sem apelar para a trigonometria. A seguir está a resolução que fiz usando caça aos ângulos e uma certa dose de criatividade:

Observe a figura a seguir:

Nela, as construções em azul fazem parte da minha resolução, e o ângulo vermelho foi o último a ser obtido, antes do x. Acompanhe o passo a passo de como cheguei lá:


1) Prolongar BD, encontrando E no lado AC.
2) \( \angle EDC = 30º \), pois é ângulo externo do \( \triangle BDC \).
3) Então, \( \triangle CDE \) é isósceles de base CD.
4) \( \angle AED = 60º \), pois é ângulo externo do \( \triangle CDE \).
5) Traçar a mediatriz do segmento CD, encontrando F no lado BC.
6)  \( \angle DEF = 60º \), pois é complementar do \( \angle EDC = 30º \).
7) Como F pertence à mediatriz de CD, então \( FD = FC \) e o \( \triangle FDC \) é isósceles de base CD. (Lembre-se da propriedade dos pontos da mediatriz serem sempre equidistantes das extremidades do segmento).
8) Assim, \( \angle FDC = \angle FCD = 10º \)
9) \( \triangle ABE \) é congruente ao \( \triangle FBE \) por ALA. Assim, \( AE = EF \).
10) \( \triangle ADE \) é congruente ao \( \triangle FDE \) por LAL. Assim, \( \angle ADE = \angle FDE = 40º \).
11) Finalmente, no \( \triangle ADE \), aplicando a soma dos ângulos internos de um triângulo, obtemos  \( \boxed{x = 80º} \)

Bonito problema! E você, gostou?

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