Pesquisando no site da Fuvest, descobri que há uma lacuna de informações sobre as provas de 1982 a 1986. E com isso, provavelmente, alguns exercícios dessas provas começam a cair no esquecimento. Cheguei à essa conclusão quando comecei a ter dificuldade de encontrar, em buscas pelo Google, alguns exercícios. Os resultados dessas buscas traziam resultados conflitantes, enunciados já modificados e/ou com créditos de outros vestibulares.
Um desses exercícios é o seguinte, que caiu na 2ª fase da Fuvest de 1984, ano do cinquentenário da USP. Foi a questão 11 da prova feita em 09/01/1984.
No plano cartesiano são dados os pontos A(– 1, 2), B(1, 3) e C(2, – 1). Determine uma equação:
a) da reta AB;
b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB.
Colocarei a solução oculta para não atrapalhar aqueles que desejarem tentar resolvê-la. Vale a pena, é um boa questão. Embora seja relativamente simples, ela trata de temas fundamentais a qualquer um que deseja se preparar bem em GA.
Item a:
a) Para obter a equação da reta que passa por A(– 1, 2) e B(1, 3), temos dois modos. O determinante ou a equação ponto-m (também conhecida como equação fundamental ou equação yoyô-mi-xoxô). O mais prático é via determinante:
\( \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0\)
Resolvendo o determinante e igualando a zero, encontramos \( \boxed{x - 2y + 5 = 0} \). Se você precisar de ajuda, assista essa aula.
A outra maneira de obter a equação da reta é usando a equação ponto-m. Assim, precisamos do coeficiente angular m e um ponto da reta desejada (A ou B, tanto faz):
\( m=\frac { 3-2 }{ 1-(-1) } =\frac { 1 }{ 2 } \)
Usando o ponto B(1, 3), a equação ponto-m é \( y - 3 = \frac { 1 }{ 2 }(x-1) \). Multiplicando ambos os membros por 2, chegamos em \( 2y - 6 = x - 1 \Rightarrow \boxed{x - 2y + 5 = 0} \). E se você precisar de ajuda, assista essa outra aula.
Item b:
b) Se você optou pelo determinante para obter a equação do item (a), então você não possui o coeficiente angular m. Desta forma, a melhor maneira de obter a equação da perpendicular é por meio da equação do feixe de perpendiculares. Assim, se a nossa reta de referência (reta AB) é \( x - 2y + 5 = 0 \) então a equação do feixe de perpendiculares a ela é \( 2x + y + \lambda = 0 \), e como ela passa pelo ponto C(2, – 1), basta substituir C na equação do feixe para obter o valor de \( \lambda \):
\( 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -3 \). Assim, a equação desejada é \( \boxed{2x + y - 3 = 0} \). Se precisar, assista essa aula e aprenda a lidar com o feixe de retas perpendiculares.
Se você optou pela equação ponto-m, pode fazer o item b usando a mesma abordagem acima (eu gosto!) ou usar novamente a equação ponto-m, desta vez com o coeficiente angular da reta perpendicular e o ponto C(2, – 1).
\({m}_{1} = \frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow {m}_{2} = -2\). Assim, usando o ponto C(2, – 1), a equação ponto-m é \( y + 1 = -2(x-2) \Rightarrow y + 1 = -2x + 4 \Rightarrow \boxed{2x + y - 3 = 0} \). Se precisar, assista essa aula.
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