segunda-feira, 21 de setembro de 2015

Um belo desafio

Nas duas últimas semanas, fui abordado algumas vezes por alunos de cidades diferentes me trazendo o seguinte desafio: descobrir o valor de x na figura abaixo.

Calcular o x pode parecer banal em uma primeira olhada, mas se fosse assim esses alunos já o teriam encontrado. Alguma dificuldade o exercício deve ter!

Os americanos tem uma técnica chamada "angle chasing", algo como "caça ao ângulo". Em geral os alunos fazem suas caças aos ângulos apenas usando soma dos ângulos internos (igual a 180º) e ângulos externos, e com isso, literalmente rodam em círculos, sem resultado aparente.

Nos problemas mais exigentes, uma boa caça ao ângulo precisa lançar mão de muitas outras ferramentas: ângulos inscritos, polígonos inscritíveis, triângulos isósceles e equiláteros, propriedades das mediatrizes e bissetrizes, congruências, quadriláteros notáveis (incluindo a pipa, pouco estudada no Brasil) e paralelas. Por isso, é tão importante estudar bem a geometria, conhecer os teoremas e propriedades.
O exercício proposto não é simples. A primeira resolução que fiz foi por lei dos senos, mas não estava satisfeito com ela. O problema tinha toda a cara de possuir uma resolução sem apelar para a trigonometria. A seguir está a resolução que fiz usando caça aos ângulos e uma certa dose de criatividade:

terça-feira, 8 de setembro de 2015

Aula 14 de Geometria Analítica - Perpendicularismo


Da mesma forma que acontece com retas paralelas, retas perpendiculares também precisam sempre de uma referência.
 Perpendiculares à qual reta? 
Quando começamos a pensar desta forma, as coisas parecem fazer mais sentido. A reta de referência serve para indicar qual direção é perpendicular à direção que queremos. Assim, sabendo lidar com o coeficiente angular corretamente, ficará simples trabalhar com retas perpendiculares.

segunda-feira, 7 de setembro de 2015

Os bebês, as cegonhas, os números e os ângulos.


Você provavelmente já ouviu dizer que são as cegonhas que trazem ao mundo os bebês. Já parte do imaginário popular, talvez você não saiba que essa lenda escandinava, levada ao mundo pelas fábulas do escritor Hans Christian Andersen, foi "comprovada" por um estudo do britânico Robert Matthews. Em 1990, ele mostrou, após um estudo em várias cidades, relacionando a população de cegonhas e o número de nascimentos, que existe uma chance de 99,2% da lenda não ser uma lenda.
Robert, é claro, sabe que as cegonhas não trazem os bebês! Mas ele quis mostrar como uma correlação de fatos ou dados pode dar margem à interpretações estapafúrdias. É a falácia da falsa causalidade, que ocorre ao se presumir que uma relação real entre duas coisas significa que uma é a causa da outra.
Você está curioso para saber onde vamos chegar? Então veja isso:

domingo, 9 de agosto de 2015

FUVEST 1984 - 1ª fase


Folha de SP, 11/12/83
Em um artigo recente, mencionei a falta de informação acerca de algumas provas da Fuvest mais antigas. Nem o site da Fuvest possui os arquivos relativos aos anos de 1977 a 1979 e 1982 a 1986. Com o intuito de contribuir com a memória de um dos vestibulares mais importantes do Brasil, apresento a seguir a prova de matemática da primeira fase do vestibular da Fuvest 84, ocorrida em 11 de dezembro de 1983.

segunda-feira, 27 de julho de 2015

Caiu na Fuvest (parte 6)

Pesquisando no site da Fuvest, descobri que há uma lacuna de informações sobre as provas de 1982 a 1986. E com isso, provavelmente, alguns exercícios dessas provas começam a cair no esquecimento. Cheguei à essa conclusão quando comecei a ter dificuldade de encontrar, em buscas pelo Google, alguns exercícios. Os resultados dessas buscas traziam resultados conflitantes, enunciados já modificados e/ou com créditos de outros vestibulares.
Um desses exercícios é o seguinte, que caiu na 2ª fase da Fuvest de 1984, ano do cinquentenário da USP. Foi a questão 11 da prova feita em 09/01/1984.
No plano cartesiano são dados os pontos A(– 1, 2), B(1, 3) e C(2, – 1). Determine uma equação:
a) da reta AB;
b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB.
Colocarei a solução oculta para não atrapalhar aqueles que desejarem tentar resolvê-la. Vale a pena, é um boa questão. Embora seja relativamente simples, ela trata de temas fundamentais a qualquer um que deseja se preparar bem em GA.

terça-feira, 16 de junho de 2015

Enem 2014 - Índice de videoaulas


Esse post é um índice das videoaulas já publicadas no meu canal com as resoluções das questões do Enem 2014. A numeração original é da prova azul. (atualizado em 09/08/2015)

quinta-feira, 4 de junho de 2015

Caiu no Enem (parte 3)


Ver a resolução de questões costuma ser uma boa maneira de estudar. Eu recomendo que primeiramente o aluno leia atentamente a questão e reflita sobre como ele tentaria resolver, ou o que ele lembra sobre os assuntos envolvidos. Isso valoriza o "ver a resolução" como instrumento de aprendizagem.
Vejamos agora a questão 159 do Enem 2014, prova azul, a famosa questão do pomar:
Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é
A) 4.
B) 8.
C) 9.
D) 12.
E) 20.
 Essa questão deixou muitos alunos de cabelo em pé.

domingo, 19 de abril de 2015

Assuntos Básicos - Produtos Notáveis

Muita gente confunde produtos notáveis com fatoração. Embora parecidos, um é a contramão do outro. Saber com desenvoltura os principais produtos notáveis significa saber desenvolver uma expressão, ou seja, desfazer a forma fatorada, com agilidade e precisão. Em geral, a confusão entre produtos notáveis e fatoração se observa em alunos que não sabem direito o que estão fazendo, (embora estudem o assunto desde o ensino fundamental) e é bastante prejudicial.

E por que o nome "produtos notáveis"? Algo que é notável é algo digno de nota, de atenção, de importância. São produtos importantes que, quando usados com desenvoltura, permitem ao aluno uma ferramente muito proveitosa. Não adianta decorá-los sem praticar muito.

Os 3 principais produtos notáveis são:

sábado, 18 de abril de 2015

A polêmica do bêbado.

Hoje deparei-me com um vídeo sobre um daqueles probleminhas que, pelo jeito, é meio famoso. Eu confesso que não conhecia, ou pelo menos, não lembro de ter tido contato com ele. O enunciado é o seguinte:
Um bêbado disse: "Se ontem fosse amanhã, hoje seria sexta-feira." Em que dia da semana o bêbado falou isso?
O vídeo trazia duas interpretações para o problema, linkava um outro vídeo, que dava as mesmas duas interpretações, e ambos traziam nos comentários discussões de pessoas defendendo uma, outra ou ambas interpretações. Claramente, não há consenso.

Confesso que, quando se vê as explicações que induzem às duas interpretações, ambas realmente parecem fazer sentido! Mas, na minha opinião, há apenas uma interpretação correta. Quando se diz: "Se ontem fosse amanhã", estamos adiantando o tempo em dois dias. Isso é muito importante, pois é a chave para a resposta.

terça-feira, 17 de março de 2015

Exercícios Extras sobre distância entre dois pontos (Aula 3 de GA)

No processo de aprendizagem de matemática, tão importante quanto o conhecimento da teoria envolvida em cada assunto, é a domínio da prática. Chegou o momento de praticar um pouco o que foi visto na aula 3 de Geometria Analítica. Caso você encontre alguma dificuldade, reveja a videoaula:


Exercícios Extras (conteúdo: distância entre dois pontos)


sábado, 7 de fevereiro de 2015

Estudar sozinho - uma nova realidade

Alguns dias atrás, o UOL publicou uma bonita reportagem contando a trajetória de um rapaz que, estudando sozinho em casa, conseguiu aprovação em medicina.

Tenho percebido que essa situação - estudar sozinho - não é tão isolada como talvez pudéssemos pensar. O Facebook tem várias comunidades de alunos que se ajudam, trocam material de estudo, cronogramas, dicas de canais do Youtube e blogs, todas elas com muitos participantes ativos e outros tantos que consomem a experiência compartilhada. Cito alguns que eu considero bem bacanas, como por exemplo o Projeto Enem 2015, Estudos da Madruga e Projeto Medicina (tem 2 projetos medicina, o outro é esse), mas com absoluta certeza, devem existir diversos outros. E nem citei o projeto Enem 2014 porque ele migrou para o 2015.

terça-feira, 13 de janeiro de 2015

Notas de corte do Sisu/2014 - Engenharias

Ontem publiquei um artigo explicando sobre o Sisu e as notas de corte de medicina no ano passado. Nos mesmos moldes daquele artigo, hoje vamos ver as notas de corte das Engenharia. E novamente, as tabelas trazem as notas de corte para as vagas de livre concorrência, ou seja, sem nenhuma incidência de cotas. Recomendo a leitura do artigo de ontem para que você se familiarize com esses detalhes, já que não vou explicá-los novamente.

São muitas Engenharias (você não acreditaria quantas!), então precisei tomar algumas decisões de como organizar os dados para melhor compreensão. Optei por separar as mais clássicas em tabelas próprias e deixar as demais numa tabelona final. Recomendo que você veja essa última tabela com carinho, tem muito curso interessante por lá.

Então vamos lá:

segunda-feira, 12 de janeiro de 2015

Notas de corte do Sisu/2014 - Medicina

Amanhã, dia 13 de janeiro, é um dia importante para muitos estudantes brasileiros. É a data em que está prevista a divulgação das notas do Enem 2014, para ingresso nas Universidades a partir de 2015. Momento de grande apreensão para todos, de alegria e de tristeza. Essas notas definem, ou não, em que universidade o aluno irá estudar a partir de 2015.

Com as notas do Enem 2014, os estudantes que não zerarem a redação devem, através do Sistema de Seleção Unificada (Sisu), escolher a Universidade e o curso que desejam (e que seja coerente com sua pontuação). O Sisu ficará aberto de 19/01 a 22/01 para que o aluno se inscreva, e diariamente, a partir do 2º dia, divulga a classificação parcial com a nota de corte até aquele momento, para orientar o aluno na escolha do curso que cabe na sua nota.

Para ajudar nessa escolha, compilei a tabela abaixo com as notas de corte para Medicina no Sisu de 2014, em ordem crescente, em todas as universidades que adotam o sistema, para ingresso por livre concorrência (ou seja, sem considerar nenhum tipo de cota):

sábado, 3 de janeiro de 2015

Assuntos Básicos - Potenciação

O conhecimento é cumulativo. Cada novo tijolinho precisa do anterior muito bem assentado para que ele fique firme e pronto para sustentar o próximo tijolinho. Super clichê, mas mostra perfeitamente uma das maiores falhas de alguns alunos na preparação para os vestibulares: querer aprender conceitos novos sem corrigir as falhas de conhecimento do passado.
Um curso de assuntos básicos muitas vezes é negligenciado pelo aluno pois ele acredita realmente que aquilo ele já sabe. "Já vi isso mais de trezentas vezes", argumenta o aluno. "Sei decor as propriedades.".

Caiu na Fuvest (parte 5)

Ver a resolução de questões costuma ser uma boa maneira de estudar. Eu recomendo que antes, o aluno leia atentamente a questão e reflita como ele tentaria resolver, ou o que lembra sobre os assuntos envolvidos. Isso valoriza o "ver a resolução" como instrumento de aprendizagem. Mesmo a resolução de questões que sabemos resolver tem o seu mérito: aprender novos modos de abordar um determinado assunto, ou diferentes estratégias para chegar no objetivo desejado. (A videoaula está no final do texto)

Hoje vamos estudar a questão M05 da prova de conhecimentos específicos da Fuvest 2014 (3º dia da 2ª fase):

Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:
i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou
ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.
Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine
a) os quocientes PA/PB e PR/PB;
b) o número nA de bolas azuis e o número nB de bolas brancas no recipiente.

quinta-feira, 1 de janeiro de 2015

Caiu na Fuvest (parte 4)

Ver a resolução de questões costuma ser uma boa maneira de estudar. Eu recomendo que antes, o aluno leia atentamente a questão e reflita como ele tentaria resolver, ou o que lembra sobre os assuntos envolvidos. Isso valoriza o "ver a resolução" como instrumento de aprendizagem. Mesmo a resolução de questões que sabemos resolver tem o seu mérito: aprender novos modos de abordar um determinado assunto, ou diferentes estratégias para chegar no objetivo desejado. (A videoaula está no final do texto)

Hoje vamos estudar a questão M03 da prova de conhecimentos específicos da Fuvest 2014 (3º dia da 2ª fase):

Os coeficientes a, b e c do polinômio x³ + ax² + bx + c são reais. Sabendo que -1 e 1 + αi, com α > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x - 1) é 8, determine
a) o valor de α;
b) o quociente de p(x) por (x + 1).

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