Estima-se que o Brasil consome, anualmente, cerca de 36 milhões de quilômetros cúbicos de água.
Esse número equivale a:
a) \( 3,6 \cdot 10^{19} \) litros
b)\( 3,6 \cdot 10^{18} \) litros
c)\( 3,6 \cdot 10^{16} \) litros
d)\( 3,6 \cdot 10^{15} \) litros
e)\( 3,6 \cdot 10^{12} \) litros
resolução
36 milhões = \( 36 \cdot 10^{6} = 3,6 \cdot 10^{7} \)
\( 1 km = 1000 m = 10^{3}m\) portanto \( 1km^{3} = (10^{3}m)^{3} = 10^{9}m^{3} \)
\( 1 m^{3} = 1000 L = 10^{3}L\)
Então, 36 milhões de quilômetros cúbicos = \( 3,6 \cdot 10^{7} \cdot 10^{9} \cdot 10^{3}\) L
= \( 3,6 \cdot 10^{19} \) litros
alternativa A
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
Um cardiologista recomendou um plano de treinamento diário para um atleta amador, começando com uma corrida de 2 quilômetros no primeiro dia e aumentando 300 metros por dia, a partir do segundo dia, até atingir o limite de 6,5 km de corrida em um mesmo dia de treino, e a partir dali, continuar correndo sempre essa distância.
Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente, no vigésimo dia de treino, ele irá correr:
a) 7,7 km
b) 7,1 km
c) 6,5 km
d) 6,2 km
e) 5,9 km
resolução
A sequência de distâncias corridas forma a sequência (2; 2,3; 2,6; ...; 6,2; 6,5; 6,5; 6,5; 6,5, ....)
Note que os primeiros termos representam a PA crescente (2; 2,3; 2,6; ...; 6,2; 6,5). Depois disso, representam a PA constante (6,5; 6,5; 6,5; ....).
Vamos calcular quantos termos tem a PA crescente: Sabemos que \( a_{1} = 2, a_{n} = 6,5 \) e \( r = 0,3\).
Lembrando que \( a_{n} = a_{1} + (n-1) \cdot r \), temos:
\( 6,5 = 2 + (n-1) \cdot 0,3 \)
\( n-1 = \frac{6,5 - 2}{0,3} = 15 \therefore n = 16\)
Assim, no décimo sexto dia de treino o atleta atinge 6,5 km. A recomendação médica é que a partir dai ele não aumente mais a distância, e então no vigésimo dia ele também correrá 6,5 km.
Alternativa C
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
A questão 45 da prova V da Fuvest 2014 é uma questão relativamente simples, mas que adquire um grau de dificuldade por não apresentar, propositalmente, a figura. È uma maneira de cobrar uma melhor preparação dos candidatos e de filtrar aqueles mais bem preparados. Muitos alunos não conseguiram entender do que se tratava a questão, e chutaram o valor 1/4.
A questão é a seguinte:
Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é
a)1/8
b)1/6
c)2/9
d)1/4
e)1/3
O tetraedro em questão é o tetraedro trirretângulo. Assista à resolução da questão aqui:
Gostou? compartilhe! Dúvidas? pergunte nos comentários
Considere o gráfico abaixo, da população residente na zona urbana e na zona rural, no Brasil, da década de 1940 a 2000, em milhões de habitantes.
De acordo com os dados do gráfico, a mediana da população residente na zona urbana e a mediana da população residente na zona rural, em milhões de habitantes, são, respectivamente:
a) 52,1 e 41,1
b) 52,1 e 35,8
c) 63,5 e 35,4
d) 66,3 e 41,1
e) 63,5 e 35,4
resolução:
A mediana é o termo central de uma lista ordenada de dados. Assim, com os dados dos residentes na zona urbana (que já estão ordenados pelo próprio gráfico crescente, em laranja) obtemos a mediana de 52,1 milhões de habitantes. Com os dados dos residentes na zona rural, (que não estão ordenados no gráfico amarelo, cuidado!) obtemos a mediana de 35,8 (ordenando os valores, esse é o central).
Alternativa B
Caso você tenha dúvidas sobre mediana, assista minha videoaula sobre o assunto. Em 6 minutos você aprende tudo!
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
A imagem mostra um abajur, composto por uma cúpula (1), uma haste vertical metálica (2) e uma base metálica (3). Essas três peças podem ser consideras a representação de sólidos geométricos. Esses sólidos são, de acordo com a numeração da imagem:
a) (1) cone - (2) cilindro - (3) esfera
b) (1) tronco de cone - (2) cilindro - (3) esfera
c) (1) semicone - (2) cilindro - (3) fuso esférico
d) (1) tronco de cone - (2) semicilindro - (3) hemisfério
e) (1) tronco de cone - (2) cilindro - (3) calota esférica
Resolução
A peça 1 é um tronco de cone, a peça 2 é um cilindro e a peça 2 é uma calota esférica. O hemisfério é metade da esfera (o que não é o caso da peça 3) e o fuso é uma parte da superfície esférica, como se fosse a casca de uma fatia de melancia (o que também não é o caso da peça 3)
Alternativa E
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
Derretendo-se 8 barras de alumínio maciças cujas dimensões são 10 cm x 6 cm x 2 cm, é possível moldar uma quantidade n de cubos de alumínio maciço, todos com arestas que medem 4 cm. O valor de n é:
a) 24
b) 20
c) 18
d) 15
e) 12
resolução
O volume das 8 barras é: 8·(10·6·2) = 960 cm³ de alumínio.
Esse volume será totalmente utilizado em n cubos de aresta 4, portanto temos:
n·4³ = 960 ⇒ 64n = 960 ⇒ n = 960/64 = 15
alternativa D
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
Em determinada eleição, o resultado foi: Candidato A: 48% dos votos; candidato B: 32% dos votos; votos nulos: 7% e votos em branco: 13%. De acordo com o Tribunal Superior Eleitoral (TSE), "O voto em branco ocorre quando o eleitor escolhe a opção Branco e confirma na urna eletrônica. Já o voto nulo é aquele que não corresponde a qualquer numeração de partido político ou candidato regularmente inscrito. Tanto o voto nulo como o em branco não são considerados na soma dos votos válidos."
De acordo com essa informação, a porcentagem de votos válidos do candidato A, nessa eleição, foi:
a) 48%
b) 50%
c) 55%
d) 60%
e) 64%
Resolução:
De acordo com o enunciado, o total de votos válidos foi, nessa eleição, 48+32 = 80%. Assim, a porcentagem dos votos válidos do candidato A é dado por: \( \frac { 48% }{ 80% } =0,6 =60\% \) ou, se preferir, por: \( \frac { 48% }{ x } =\frac { 80% }{ 100% } \Rightarrow x=60 \)
alternativa D
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
Se alguém olhar num relógio digital que exibe horas, minutos e segundos e te disser que "agora são π horas", e isso for realmente verdadeiro, então naquele momento o relógio digital estava marcando:
a) 3:14:15
b) 3:14:00
c) 3:08:24
d) 3:08:00
e) 3:00:00
resolução
π horas = 3,14 horas = 3 horas + 0,14 horas.
Como 1 h tem 60 minutos, 0,14 h = 0,14·60 = 8,4 min = 8 min + 0,4 min.
Como 1 min tem 60 segundos, 0,4 min = 0,4·60 = 24 segundos.
Assim, π horas = 3 h 08 min 24 s = 3:08:24
Alternativa C
Gostou? compartilhe com seus amigos! Dúvidas? deixe comentário!
Na figura abaixo, MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é α rad, percorrendo o arco AM no sentido anti-horário, a soma das medidas dos arcos AM, AN, AP e AQ, em radianos, todos percorridos no sentido anti-horário, é:
a) 2π
b) 3π
c) 4π
d) 2π + α
e) 4α
Resolução
Para um arco AM = α, temos AN = π - α, AP = π + α e AQ = 2π - α. (percorrendo-os no sentido anti-horário).
Assim,
AM + AN + AP + AQ = α + π - α + π + α + 2π - α = 4π
Das alternativas abaixo, a única que contém uma imagem com simetria em relação ao ponto A é:
Resolução:
A simetria em relação ao ponto A equivale a construir o segundo quadrado a partir de uma reflexão em relação ao ponto A ou mediante uma rotação de 180º do quadrado original. A figura resultante deverá possuir invariância para rotações de 180º.
Das alternativas, a única nessas condições é a alternativa C.
Alternativa C
Caso tenha encontrado alguma dificuldade com esse tema, estude aqui (textos e videos no meu blog) ou aqui (videoaulas no meu canal do Youtube).
Gostou? Compartilhe! Desafie seus amigos a resolverem também! E volte amanhã para mais uma questão.
O gráfico abaixo foi obtido a partir de uma pesquisa sobre a influência dos meios de comunicação na vida do entrevistado. A pergunta foi “Quais mídias chamam mais sua atenção?”, onde cada pessoa teria que assinalar uma ou mais alternativas.
Considerando-se esse gráfico, a única medida estatística que pode ser obtida a partir desses dados é:
a) a média
b) a mediana
c) a moda
d) a variância
e) o desvio padrão
Resolução:
A única medida estatística, dentre as citadas, que pode ser obtida sem necessidade de dados numéricos, é a moda. No caso, a moda é "televisão", com 34% das opiniões.
alternativa C
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
O consumo C de uma família e sua renda x são tais que C(x) = 700 + 0,6x, ambos dados em reais. Podemos então afirmar corretamente que, se a renda dessa família:
a) diminuir em R$ 1000, o consumo diminui em R$ 100.
b) aumentar em R$ 1000, o consumo aumenta em R$ 1300.
c) diminuir em R$ 100, o consumo diminui em R$ 100.
d) aumentar em 1000, o consumo aumenta em R$ 600.
e) dobrar, o consumo dobra.
Resolução
A função C(x) é polinomial do 1º grau, ou seja, variações iguais em x geram variações iguais em C(x). A parte fixa (b = 700) não influencia nessa variação, apenas a taxa de variação (a = 0,6). Uma taxa de variação de 0,6 significa que para cada unidade a mais em x, aumenta-se 0,6 unidades em C(x). Das alternativas, a única que mostra isso é a (d), em que um aumento na renda de R$ 1000 gera um aumento de 0,6·1000 = 600 no consumo.
Outra maneira, menos teórica e mais braçal de se chegar aos mesmos resultados, é calcular:
C(α) = 700 + 0,6α
e
C(α + 1000) = 700 + 0,6(α + 1000) = 700 + 0,6α + 600 = 1300 + 0,6α.
Em uma fábrica, o custo diário para se produzir x peças é dado por \( C(x) = 24 + 1,8x + 0,1x^{2} \). Cada peça é vendida por R$ 5,00. O valor de x que permite que se obtenha o maior lucro diário, supondo que se venda toda a produção, é:
A) 9
B) 16
C) 18
D) 24
E) 32
Resolução
O lucro diário é dado pela diferença entre a receita e o custo. O custo, dado no enunciado, é \( C(x) = 24 + 1,8x + 0,1x^{2} \). A receita é de R$ 5 por peça vendida, e se for vendida toda a produção, será R(x) = 5x. Assim, o lucro L(x) será \( L(x) = R(x) - C(x) = 5x - (24 + 1,8x + 0,1x^{2}) \)
\( \therefore L(x) = -0,1x^{2} + 3,2x - 24 \).
O valor de x que maximiza L(x) é \( { x }_{ v }=\frac { -b }{ 2a } =\frac { -3,2 }{ 2(-0,1) } =16 \)
alternativa B
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
Uma pesquisa foi feita em uma escola, sobre a preferência dos alunos em relação a alguns esportes. O resultado foi resumido no seguinte gráfico:
A moda das opiniões desses alunos, foi:
a) Futebol
b) Vôlei
c) Basquete
d) Natação
e) outros
Resolução:
A moda de um conjunto de dados é o valor observado com maior frequência. De acordo com o gráfico, a moda das opiniões dos alunos é Futebol, com 40% das opiniões.
Alternativa A
Gostou? Compartilhe! Dúvidas e comentários? escreva ai embaixo!
Os rótulos são elementos essenciais de comunicação entre produtos e consumidores. Daí a importância das informações serem claras e poderem ser utilizadas para orientar a escolha adequada de alimentos. No Brasil, a Agência Nacional de Vigilância Sanitária – Anvisa, é o órgão responsável pela regulação da rotulagem de alimentos que estabelece as informações que um rótulo deve conter, visando à garantia de qualidade do produto e à saúde do consumidor.
VD é a sigla que resume Valores Diários, ou seja, as quantidades de nutrientes que as pessoas devem consumir para ter uma alimentação saudável, em uma dieta de 2000 calorias. Para cada nutriente, o Valor Diário é diferente, pois cada um tem um papel na alimentação e deve ser consumido numa quantidade específica. O percentual do VD (que aparece como %VD nas tabelas) é o quanto aquela porção de alimento contribui para atingir a necessidade diária daquele nutriente.
As recomendações da ANVISA de VD dos nutrientes da tabela nutricional foram estabelecidas segundo os Valores Diários de Referência (VDRs) para carboidratos, proteínas, gorduras e fibras, e seguindo os valores da Ingestão Diária Recomendada (IDR) para vitaminas e minerais.
De acordo com o rótulo acima, é possível estimar que os VD para gordura saturada, proteínas e carboidratos, são, respectivamente:
a) 21g, 55g e 190g
b) 0,21g, 78g e 114g
c) 21g, 78g e 317g
d) 0,21g 55g e 114g
e) 21g, 78g e 190g
Resolução
Seja x o VD de gordura saturada, y o VD de proteínas e z o VD de carboidratros. De acordo com os dados da tabela, temos as seguintes proporções (regra de 3):
A questão 46 da prova V da Fuvest 2014 foi motivo de reclamação dos alunos, em termos de dificuldade. O detalhe é que a questão não é difícil em si, mas aborda um tema interdisciplinar que pegou os alunos de surpresa. A alegada dificuldade é na verdade, fruto do desconhecimento.
A questão em si é bela e bem montada. Aborda a interdisciplinaridade com a geografia, de uma forma muito bacana. A questão á a seguinte:
Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ e ρ, respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a:
a) ρ
b) μ
c) 90 - ρ
d) 90 - μ
e) 180 - ρ
Assista à resolução dessa questão aqui:
Gostou? compartilhe! Dúvidas? pergunte nos comentários!
A bateria de um celular X, quando 100% carregada, é suficiente para se assistir 8h contínuas de vídeo ou ouvir 30h contínuas de música. Josimar pegou o celular X com a bateria em 50% e ouviu 3h de música. Quanto tempo de vídeo Josimar poderia assistir com o restante da bateria?
a) 4h 02 min
b) 3h 20 min
c) 3h 12 min
d) 2h 42 min
e) 1h 50 min
Resolução
De acordo com o texto, se completamente cheia a bateria é suficiente para 30h de música ou 8h de vídeo, então com 50% da capacidade ela é suficiente para 15 de música ou 4h de vídeo.
Vamos chamar de B a bateria com 50% de capacidade, de v o gasto de bateria por hora, assistindo video e de m o gasto de bateria por hora, ouvindo música e x o tempo de video que é possivel assistir com o restante da bateria. Assim, temos:
(1) B = 4v
(2) B = 15m
(3) B = 3m + xv
Das sentenças (1) e (2), tiramos que 4v = 15m e portanto, m = 4v/15
Substituindo B = 4v e m = 4v/15 na sentença (3), temos:
\( 4v=3\frac { 4v }{ 15 } +xv \). Dividindo tudo por v, e simplificando onde é possível, temos:
\( 4=\frac { 4 }{ 5 } +x \) de onde se tira que \( x = 4-\frac { 4 }{ 5 } =\frac { 20-4 }{ 5 } =\frac { 16 }{ 5 } =3,2 \)
3,2h equivale a 3h + 0,2h = 3h + 0,2.60 min = 3h + 12 min.
Alternativa C
Gostou? compartilhe! Dúvidas? pergunte nos comentários!
Zeca é um garoto curioso que gosta de brincar com moedas. Em determinada brincadeira, ele começou a formar um interessante arranjo de moedas, todas idênticas, colocando novas camadas de moedas tangenciando as que já estavam colocadas. A imagem abaixo mostra o arranjo de Zeca até a 5ª camada.
A quantidade de moedas que Zeca usará para montar a 11ª camada desse arranjo é:
a) 60
b) 66
c) 72
d) 132
e) 330
Resolução
Observe que a 1ª camada tem 1 moeda (C1 = 1), a 2ª camada tem 6 moedas (C2 = 6), a 3ª camada tem 12 moedas (C3 = 12), e assim por diante, temos C4 = 18 e C5 = 24. Excetuando-se C1, temos a PA (C2, C3, C4, ...). Mais especificamente, a PA é (6, 12, 18, 24 ...).
O termo geral dessa PA é dado por \( a_{n} = 6n \)
Como C11 é o 10º termo dessa PA, então C11 = \( a_{10} = 6 \cdot 10 = 60\)
Alternativa A
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários!
Uma roda de 20 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.
O menor número inteiro de voltas completas para essa roda percorrer uma distância maior que 10 m é:
a) 10
b) 16
c) 24
d) 31
e) 62
resolução
O comprimento da circunferência é dado por \( C = 2 \pi R \), em que R é o raio da circunferência. Assim, dando uma volta completa, essa roda, cujo raio mede 10 cm, percorre \( 2 \pi 10 = 20 \pi \) cm, ou seja, \( 0,2 \pi \) m.
Seja n o número mínimo de voltas completas necessárias para percorrer os 10 m. Assim, temos:
\( 0,2 \pi \cdot n > 10 \)
\( n > \frac { 10 }{ 0,2\pi } \)
\( n > \frac { 50 }{ \pi } \)
\( n > 15,9 \).
Portanto, o menor número inteiro de voltas é 16.
Alternativa B
Gostou? Amanhã tem mais! Compartilhe com seus amigos!
Depois que a seleção brasileira de basquete foi vice-campeã do torneio pré-olímpico das Américas, classificando-se para as olimpíadas de Londres 2012, um site de Esportes publicou a uma matéria cujo título era "Defesa forte, terno da sorte, macarrão; veja 16 motivos que levaram Brasil às Olimpíadas". Dentre os 16 motivos, alguns eram sérios, outros nem tanto. Veja o 7º motivo da lista:
A leitura desse motivo permite afirmar corretamente que:
a) O 7º motivo é sério, pois sempre que Vitor Benite comia macarrão antes dos jogos, aumentava a probabilidade de o Brasil vencer os jogos.
b) O 7º motivo é uma brincadeira, pois se comer macarrão antes dos jogos nem sempre cai bem então isso diminuiria a probabilidade de vitória do Brasil.
c) O 7º motivo é sério, pois um atleta bem alimentado aumenta a probabilidade de vitória do seu time.
d) O 7º motivo é uma brincadeira, pois a probabilidade de vitórias ou derrota do time brasileiro independe de Vitor Benite comer macarrão.
e) O 7º motivo é brincadeira, pois comer macarrão não é mania nem amuleto, muito menos pode ser considerado uma iguaria.
Resolução:
Uma das habilidades que o Enem cobra do aluno é "Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação". Nesse caso, é necessário perceber que comer macarrão não influi na probabilidade de vitória do time, e então o 7º motivo é apenas uma brincadeira, alusão a uma superstição que marcou a campanha da equipe brasileira.
alternativa D
Gostou? Compartilhe! Tem algo a dizer? Use os comentários!
Uma determinada cidade passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 45 reais, os usuários têm direito a 1 hora de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 2 reais por hora extra. A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é:
a) f(x) = 2x
b) f(x) = 45
c) f(x) = 47x
d) f(x) = 2x + 45
e) (x) = 45x + 2
Resolução:
O valor pago inclui um custo fixo, de 45 reais por ano, e um custo variável, de 2 reais por hora extra. Assim, para x horas extras, devem ser pago 2x reais, além dos 45 reais da anuidade.
Desta forma, o valor total f a ser pago em um ano é f(x) = 2x + 45
alternativa D
Gostou? Compartilhe! Dúvidas? deixe nos comentários.
Numa escola com 400 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o esporte preferido para a educação físic, basquete ou vôlei.
Nessa pesquisa constatou-se que 210 alunos preferem vôlei, 120 falam preferem basquete e 150 não preferem nenhum desses esportes.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não prefere basquete, qual a probabilidade de que esse aluno prefira vôlei?
a) 13/40
b) 13/28
c) 21/40
d) 21/28
e) 8/40
Resolução:
Somando-se as quantidades citadas, temos: 210 + 120 + 150 = 480, ou seja, mais do que os 400 alunos da escola. Isso ocorre por que 480 - 400 = 80 alunos gostam simultâneamente de basquete e vôlei. Assim, montando o diagrama de Gauss-Venn temos:
Note que o valor 130 corresponde ao número de alunos que só gostam de vôlei, ou seja, 210 - 80. E o 40 corresponde ao número de alunos que só gostam de basquete, ou seja, 120 - 80.
A pergunta se refere aos alunos que não gostam de basquete, ou seja, aos 130 alunos que só gostam de vôlei somados aos 150 que não gostam de nenhum. No diagrama abaixo, isso está mostrado na área sombreada:
Esses 280 alunos correspondem ao espaço amostral a ser considerado. Deles, 130 preferem vôlei, portanto a probabilidade é dada por P = 130/280 = 13/28.
Alternativa B
Gostou? Compartilhe com seu amiguinhos! Em caso de dúvidas, use os comentários.
Há 40 dias, a torneira do banheiro de Rafaela está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Sabe-se que um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias. Desta forma, a quantidade em litros de água já desperdiçada pela torneira de Rafaela é:
a) 133,3
b) 150,0
c) 233,3
d) 250,0
e) 300,0
Resolução
Temos 3 grandezas envolvidas nessa situação: número de dias (d), número de gotas por minuto (g) e volume desperdiçado (v). Para montar a relação entre essas grandezas, devemos perceber que d e v são diretamente proporcionais, pois quanto mais tempo, maior é o volume desperdiçado, quando se mantém g constante. Então, a razão d/v é constante, ou seja, \( \frac { d }{ v } ={ k }_{ 1 } \).
Além disso, g e v também são diretamente proporcionais, pois quanto maior o número de gotas por minuto, maior é o volume desperdiçado. Então, a razão g/v também é constante, ou seja, \( \frac { g }{ v } ={ k }_{ 2 } \).
Como ambas grandezas (d e g) são diretamente proporcionais a v, a relação entre as três é dada por \( \frac { d \cdot g }{ v } = k \), ou, colocado de outra forma, \( \frac { { d }_{ 1 }\cdot { g }_{ 1 } }{ { v }_{ 1 } } =\frac { { d }_{ 2 }\cdot { g }_{ 2 } }{ { v }_{ 2 } } \).
Substituindo-se os dados do texto, temos: \( \frac { 40\cdot 45 }{ x } =\frac { 30\cdot 20 }{ 100 } \). Fazendo as contas corretamente, obtemos que x = 300, ou seja, um desperdício de 300 litros até o momento.
alternativa E
Dúvidas? deixe nos comentários! Compartilhe com seus colegas.
Três pontos estão alinhados quando é possível passar uma reta pelos três pontos simultaneamente. Se não estiverem alinhados, os três pontos serão vértices de um triângulo.
Na Geometria analítica é bastante simples verificar se 3 pontos estão ou não alinhados. Basta montar uma matriz com os três pontos, de modo que haja uma coluna das coordenadas x, uma coluna das coordenadas y e, dada a necessidade das matrizes serem quadradas para terem determinante, uma coluna de "1".
\( \begin{matrix} A({ x }_{ A },{ y }_{ A }) \\ B({ x }_{ B },{ y }_{ B }) \\ C({ x }_{ C },{ y }_{ C }) \end{matrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} { x }_{ A } & { y }_{ A } & 1 \\ { x }_{ B } & { y }_{ B } & 1 \\ { x }_{ C } & { y }_{ C } & 1 \end{bmatrix} \)
O valor do determinante dessa matriz indica se os 3 pontos estão alinhados ou não. Além disso, caso os pontos A, B e C não estejam alinhados, o determinante também pode ser usado para o cálculo da área do triângulo ABC.
Assista à minha videoaula 7 do curso de geometria analítica para aprender a condição de alinhamento e o cálculo da área do triângulo e ver exercícios resolvidos.
Muitas letras do alfabeto possuem algum tipo de simetria, sejam por meio de eixos de simetria (simetria de reflexão) ou por serem invariantes por alguma rotação (simetria de rotação). A única alternativa com letras que não possuem simetria alguma é:
a) A, B, C
b) F, G, P
c) E, O, T
d) H, M, W
e) I, N, S
Resolução
Das letras apresentadas nas alternativas, apresentam simetria de reflexão (possuem eixo de simetria) as seguintes: A, B, C, E, O, T, H, M, W e I. Possuem simetria de rotação: O, H, I, N e S. Não possuem simetria alguma: F, G, P
Alternativa B.
Caso tenha encontrado alguma dificuldade com esse tema, estude aqui (texto e video no meu blog) ou aqui (videoaulas no meu canal do Youtube).
Gostou? Compartilhe! Desafie seus amigos a resolverem também! E volte amanhã para mais uma questão.
Suponha que o diâmetro do cabelo de uma pessoa seja de \( 10^{–5}\) m. Considerando que um determinado átomo tenha diâmetro de \( 10^{–10}\) m, quantos desses átomos precisaríamos colocar enfileirados lado a lado para cobrir perfeitamente o raio desse um fio de cabelo?
a) 10 mil átomos
b) 50 mil átomos
c) 100 mil átomos
d) 200 mil átomos
e) 500 mil átomos
Resolução:
Se o diâmetro do fio de cabelo mede \( 10^{–5}\) m, então o raio é metade disso, ou seja, \( \frac { { 10 }^{ -5 } }{ 2 } =\frac { { 10\cdot 10 }^{ -6 } }{ 2 } =5\cdot { 10 }^{ -6 } \)
Assim, o número de átomos que cabem lado a lado para cobrir o raio do fio é: \( \frac { { 5\cdot 10 }^{ -6 } }{ { 10 }^{ -10 } } =5\cdot { 10 }^{ -6 }\cdot { 10 }^{ 10 }=5\cdot { 10 }^{ 4 } \)
Voltamos a tratar de simetria, um tema sempre presente no Enem, mas pouco explorado em salas de aula. Caso você ainda não tenha visto a parte 1, sobre simetria de Reflexão, clique aqui.
A aula 2 do curso Simetria no Enem é sobre a simetria de Rotação.
Rotação: o que é?
Uma rotação ocorre quando um objeto gira, em torno de um ponto (centro de rotação), com todos os seus pontos descrevendo arcos de determinada medida, na direção horária ou anti-horária.
Rotação de 120º no sentido horário
Algumas rotações são mais cotidianas, como rotações de 90º ou 180º.
Figuras que apresentam simetria por rotação são aquelas que podem ser giradas em torno de um centro específico e continuarem idênticas após o giro (são invariantes por rotação). Por exemplo, algumas das gravuras de Escher apresentam simetrias de rotação:
Bird (1941)
Note que rotações de 120º não alteram a imagem acima, ou seja, ela é invariante por rotações de 120º. A estrela de Davi da imagem também apresenta simetria de rotação. Ela é invariante por rotações de 60º.
Algumas cartas de baralho também apresentam simetria por rotação. Nos exemplos abaixo, ambas são invariantes por rotações de 180º.
Como já dito anteriormente, apresentar invariância por rotações de 180º equivale a possuir simetria por reflexão em relação a um ponto. Entretanto, em geral, é mais simples perceber a rotação de 180º do que a reflexão em relação a um ponto.
Entretanto, nem toda carta de baralho apresenta simetria de rotação. Perceba nas imagens abaixo que elas só seriam invariantes com giros de 360º, portanto não há simetria de rotação. Observe:
Imagine girar essas duas cartas em 180º. Ela não ficarão iguais à imagem original.
Que tal assistir a uma aula sobre o tema? O Enem já pediu questões baseadas nesse assunto, que estão resolvidos no final do video.
Espero que você tenha gostado! Na próxima aula sobre simetria, aprenderemos sobre simetria de translação. Até lá!
A imagem abaixo é a planificação de uma caixa. Se os segmentos AB, BC e BD medem, respectivamente, 5 cm, 2 cm e 3 cm, então a capacidade desta caixa, em mililitros, é
a) 1
b) 3
c) 15
d) 30
e) 60
Resolução
A caixa planificada é um paralelepípedo retorretângulo, conforme imagem a seguir.
Assim, seu volume é dado por \( V = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 cm^{3} \)
Como \( 1 cm^{3} = 1 mL \) então a capacidade da caixa é de 30 mL.
Alternativa D
Gostou? Compartilhe para seus amigos! Todo dia, até o Enem, uma nova questão para você.
Algumas unidades de medida são mais usuais no campo, e às vezes desconhecidas de grande parte da população. Tome como exemplo o are, que equivale a um decâmetro quadrado. O hectare equivale a 100 ares. Se o sítio de Antero tem 7,2 hectares, então é correto dizer que a área de tal sítio, em metros quadrados, é:
a) 720
b) 7 200
c) 72 000
d) 720 000
e) 7 200 000
Resolução
Do texto, temos que 1 are (1 a) equivale a 1 decâmetro quadrado.
E 1 decâmetro (1 dam) equivale a 10 metros. (prefixo grego deca = 10). Assim, \( (1 dam)^{2} = (10 m)^{2} = 100 m^{2} \)
Se um hectare (1 ha) equivale a 100 ares (prefixo grego hecto = 100), então \( 1 ha = 100 a = 100 \cdot 100 m^{2} = 10 000 m^{2} \)
Desta forma, um sítio de 7,2 ha possui uma área de \( 72 000 m^{2} \).
Alternativa C
Gostou? Compartilhe para seus amigos! Todo dia, até o Enem, uma nova questão para você.
A figura mostra três cidades próximas, A, B e C, dispostas em um plano cartesiano cuja origem é cidade A. Cada unidade dos eixos coordenados representa 16 km.
A distância, em linha reta, da cidade B até a cidade C, é, em km:
a) 80
b) 88
c) 96
d) 104
e) 112
Resolução
A maneira tradicional de fazer essa questão é obter as coordenadas das cidades B e C, em relação à origem A do plano cartesiano. Assim, B = (2; 4) e C = (6; 1). A distância BC pedida é calculada usando-se a ferramenta de distância entre dois pontos da G.A:
\[ BC^{2} = (\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}, \] em que \( \Delta x = { x }_{ C }-{ x }_{ B } \) e \( \Delta y = { y }_{ C }-{ y }_{ B } \).
Caso você precise de ajuda nesse tema da matemática, veja minha aula sobre distância entre dois pontos.
Para B = (2; 4) e C = (6; 1), temos:
\( \Delta x = 6 - 2 = 4\) e \( \Delta y = 1 - 4 = -3 \)
Cada unidade nesse plano cartesiano equivale a 16 km, portanto a distância entre B e C é \( 16 \cdot 5 = 80 \) km.
Alternativa A
OBS: Aos alunos observadores, pode ter ocorrido que, desenhando no plano cartesiano um triângulo retângulo de hipotenusa BC e catetos paralelos aos eixos coordenados, estes catetos terão 3 e 4 unidades. Desta forma, a hipotenusa medirá 5 unidades (triângulo 3, 4, 5). Usar esses atalhos quando possível é correto e muito importante numa prova como a do Enem, estressante e cujo tempo precisa ser muito bem administrado.
Adalberto é um empresário que trabalha no ramo de vendas de tratores e está analisando o gráfico de vendas dos últimos anos, mostrado abaixo. Para isso, ele pretende calcular a média e a mediana das vendas de tratores de 2006 a 2011.
Se Adalberto calcular corretamente a média e a mediana que ele pretende, ele encontrará, respectivamente, em número de tratores vendidos:
a) 41 e 41
b) 42 e 43
c) 43 e 52
d) 41 e 40
e) 42 e 52
Resolução
As vendas de tratores foram, de acordo com o gráfico, as seguintes: 34, 31, 37, 49, 52 e 43
Assim, a média de tratores vendidos é \( \bar { x } =\frac { 34+31+37+49+52+43 }{ 6 } \\ \bar { x } =41 \)
A mediana é o valor central da fila ordenada de valores: 31, 34, 37, 43, 49, 52. (CUIDADO! Muita gente erra a mediana por esquecer de ordenar a fila de valores).
Como o número de valores é par, temos 2 valores centrais, o 37 e o 43.
Nesse caso, a mediana é o média desses dois valores: \( Me = \frac { 37+43 }{ 2 } =40 \) tratores vendidos.
Alternativa d.
Caso você tenha dúvidas sobre mediana, assista minha videoaula sobre o assunto. Em 6 minutos você aprende tudo!
Bons estudos, e aguarde o próximo post. Deixe seu feedback nos comentários.
Esse post inaugura a série "Pode cair no Enem", que trará exercícios sobre assuntos que podem aparecer na prova do Enem. E em breve também teremos a série "Já caiu no Enem", que trará questões do Enem resolvidas e comentadas.
Questão PCE001
De uma chapa metálica retangular de 200 cm x 300 cm, recorta-se o maior círculo possível. Qual é, aproximadamente, a área da parte que sobrou após o recorte, em metros quadrados?
a) 4,2
b) 3,5
c) 3,1
d) 2,9
e) 2,4
Resolução:
Note que o tamanho do círculo será limitado pela menor dimensão do retângulo (200 cm, ver figura). Assim, o diâmetro do círculo será 200 cm e o raio, 100 cm. Desta forma, a área que sobra após a retirada do círculo será (medidas em metros):
\( S={ S }_{ RET }-{ S }_{ CIRC }\\ S=3\cdot 2-\pi \cdot { 1 }^{ 2 }\\ S=6-\pi \)
Adotando \( \pi = 3,14 \), teremos \( S = 2,86 m^{2} \). Alternativa d.
E ai, gostou desse post? Volte para ver os próximos, a minha intenção é postar pelo menos uns 3 ou 4 por semana!
No processo de aprendizagem de matemática, tão importante quanto o conhecimento da teoria envolvida em cada assunto, é a domínio da prática. Chegou o momento de praticar um pouco o que foi visto na aula 2 de Geometria Analítica. Caso você encontre alguma dificuldade, reveja a aula.
Exercícios Extras (conteúdo: Ponto Médio e Baricentro)
1) Determine o ponto médio do segmento AB, em que A = (3, 2) e B = (9, 8).
2) Determine o baricentro do triângulo ABC, em que A = (3, 2), B = (0, 0) e C = (9, 1)
3) Os pontos A(3, -1) e B(5, 5) são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Determine o centro dessa circunferência.
4) Determine o ponto simétrico ao ponto A(10, 12) em relação ao ponto M(7, 2).
5) Considere um paralelogramo ABCD. Determine o vértice C, sabendo que A = (0, 1), B = (3, -2) e D = (-5, 5).
Vestibulares
6) (FGV/adm - 2012/2) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
7) (FGV/adm - 2012/1) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios respectivamente dos lados AB , BC e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 0
8) (UFJF) Se (2, 1), (3, 3) e (6, 2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices?
a) (-1, 2), (5, 0), (7, 4)
b) (2, 2), (2, 0), (4, 4)
c) (1, 1), (3, 1), (5, 5)
d) (3, 1), (1, 1), (3, 5)
e) n.d.a.
9) (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3), o baricentro (ponto de encontro das medianas) é:
a) (1, 3/2)
b) (3/2, 1)
c) (3/2, 3/2)
d) (1, 5/3)
e) (0, 3/2)
10) (Ulbra) As coordenadas do baricentro G do triângulo ABC onde M (-1/2,3/2) , N(1,3/2) e P(1/2,0) são os pontos médios dos lados do triângulo ABC, são:
a) (1/2,2/3)
b) (1/3,1)
c) (1/2,3/2)
d) (1/4,2)
e) (2/3,1)
Gabarito:
1) (6, 5)
2) (4, 1)
3) (4, 2)
4) (4, -8)
5) (-2, 2)
6) b
7) c
8) a
9) d
10) b
A terceira e última aula sobre circunferências na GA é sobre um tema menos discutido em sala de aula, que é o reconhecimento de uma equação como sendo de uma circunferência. Nem toda equação que se parece com a equação de uma circunferência, representa realmente uma circunferência.
Isso ocorre quando a equação está desenvolvida (veja o post sobre a aula 5) e o reconhecimento da equação não é imediato. Observe:
Destas quatro equações, apenas uma delas representa realmente uma circunferência (qual?). As outras três até parecem, mas não são. Assista à aula 6 e aprenda como reconhecer a equação de uma circunferência.
_Escher.jpg)
