Vejamos um exercício de Geometria Euclidiana relativamente famoso, com um certo grau de dificuldade. Ele aparece no livro Fundamentos de Matemática Elementar, volume 9, de Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeu, da Atual Editora. É o exercício 188.
Tente fazê-lo, se necessário, seguindo as instruções das soluções 1 e 2.
A solução 1 é relativamente clássica, muita gente que conhece o problema resolve-o desse modo ou parecido, com pequenas variações. O curioso é que muitos alunos não gostam dela, por não perceberem o triângulo congruente, tão necessário à solução.
A solução 2 é original, e seduz alguns alunos porque até chegar na equação final ela é simples. Entretanto, a solução da equação final me exigiu um certo malabarismo trigonométrico bem elaborado. Em termos de elegância e simplicidade, prefiro a solução clássica.
Problema:
Da figura, sabemos que \(AB = AC\), \( C \hat{A}B = 100° \) e \(AD = BC\). Determine \( B \hat{C}D \).
Um probleminha clássico bem bacana
Solução 1 (clássica):
Seja \(E \) um ponto externo ao \( \triangle CAD \) tal que \( \triangle CAE \) seja equilátero (desenhe-o à esquerda da figura dada).
Trace o segmento \( BE \) e perceba que o \( \triangle EAB \) é isosceles (\(EA = AB\)), com \( E \hat{A}B = 100° + 60° = 160° \). Assim, \( A \hat{E}B = A \hat{B}E = 10° \).
Então, no \( \triangle ECB \) teremos \( C \hat{E}B = 60° - 10° = 50°\)
Perceba que os triângulos são congruentes: \( \triangle ECB \cong \triangle CAD \) por \(LAL\): \( EC = CA; E \hat{C}B = C \hat{A}D = 100°; BC = AD\). Desta forma, \( A\hat{C}D = C \hat{E}B = 50° \)
Sabemos que \(sen(100°) = sen(80°)=2sen(40°)cos(40°) \)
(80° é o suplemento de 100° e é o arco duplo de 40°). Então, podemos escrever a equação acima como:
Lembrando que \( sen(30°) = \frac { 1 }{ 2 }\) e \( sen(50°) = cos(40°) \), teremos:
\( sen(30°)sen(40°+x)=sen(50°)sen(40°-x) \)
Agora precisamos recordar um assunto pouco estudado, as fórmulas de transformação em produto:
\(cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta )=-2\cdot sen(\alpha )\cdot sen(\beta )\)
(você provavelmente encontrará essas fórmulas um pouco diferentes nos livros didáticos, com \(A = \alpha +\beta \) e \( B = \alpha -\beta \). Assim, \( \alpha = \frac { A + B }{ 2 } \) e \( \beta = \frac { A - B }{ 2 } \) )
Aplicando-as à nossa equação, em ambos os membros, temos:
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