domingo, 28 de setembro de 2014

Um problema bem especial

Vejamos um exercício de Geometria Euclidiana relativamente famoso, com um certo grau de dificuldade. Ele aparece no livro Fundamentos de Matemática Elementar, volume 9, de Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeu, da Atual Editora. É o exercício 188.

Tente fazê-lo, se necessário, seguindo as instruções das soluções 1 e 2.

A solução 1 é relativamente clássica, muita gente que conhece o problema resolve-o desse modo ou parecido, com pequenas variações. O curioso é que muitos alunos não gostam dela, por não perceberem o triângulo congruente, tão necessário à solução.
A solução 2 é original, e seduz alguns alunos porque até chegar na equação final ela é simples. Entretanto, a solução da equação final me exigiu um certo malabarismo trigonométrico bem elaborado. Em termos de elegância e simplicidade, prefiro a solução clássica.

Problema: 

Da figura, sabemos que \(AB = AC\), \( C \hat{A}B = 100° \) e \(AD = BC\). Determine  \( B \hat{C}D \).
Um probleminha clássico bem bacana



Solução 1 (clássica):




Solução 2 (original): 





Bacana, não? E ai, qual você gostou mais?

Exercícios Extras sobre pontos especiais no plano (aula 1 de GA)

No processo de aprendizagem de matemática, tão importante quanto o conhecimento da teoria envolvida em cada assunto, é a domínio da prática. Chegou o momento de praticar um pouco o que foi visto na aula 1 de Geometria Analítica. Caso você encontre alguma dificuldade, reveja a aula.

Exercícios Extras (conteúdo: ponto importantes no plano cartesiano)

1) Um ponto tem abscissa 7 e está no eixo x. Que ponto é esse?
2) Um ponto tem ordenada 7 e está no eixo y. Que ponto é esse?
3) Um ponto tem ordenada 7 e está na bissetriz dos quadrantes ímpares. Que ponto é esse?
4) Um ponto tem ordenada 7 e está na bissetriz dos quadrantes pares. Que ponto é esse?

Gabarito:



Boa sorte!

Aula 5 de Geometria Analítica - Circunferência (parte 2)

A aula 5 de Geometria Analítica ensina a obter a equação reduzida da circunferência a partir de outros formatos (em geral, conhecido como equação normal da circunferência, quando ela está desenvolvida.)

Quando a equação da circunferência não está na forma reduzida, a obtenção do centro e do raio não é imediata. Dai vem a necessidade do estudante ter desenvoltura em obter a equação reduzida.

O método que eu prefiro e ensino é o completamento de quadrados. Existe quem prefira fazer por comparação, mas eu realmente acredito que quando o aluno aprende a completar quadrados ele nunca mais esquece, e o processo acaba sendo útil para outros temas da G.A. (como por exemplo, na obtenção da equação reduzida da elipse).

Assista à aula 5 de geometria analítica e aprenda a obter a reduzir a equação da circunferência.
Os seguintes exercícios serão resolvidos nessa aula. Observe-os com atenção e tente refazê-los depois.

 1) Determine o raio e o centro das circunferências:
a) \( x^{2} + y^{2} + 6x – 2y – 6 = 0\)
b) \(x^{2} + y^{2} + 20x – 44 = 0\)
c) \(2x^{2} + 2y^{2} – 12x + 8y – 24 = 0\)

Bons estudos!

sábado, 27 de setembro de 2014

Simetria no Enem (parte 1 - Reflexão)

Simetria é um tipo de assunto que não é formalmente estudado no ensino médio, embora seja citado com alguma frequência. Apela-se para o bom senso, intuição e conhecimento prévio do aluno, talvez adquirido no ensino fundamental ou mesmo de forma autodidata. Todo mundo conhece, mas ninguém sabe realmente, a fundamentação teórica.

O conceito de beleza está associado ao conceito de simetria. Geralmente o que é belo, possui algum grau de simetria. E o ser humano percebe isso intuitivamente. Um dos grandes artistas nesse campo é Maurits Cornelis Escher, e com certeza você já viu alguma obra dele. Considero Escher o rei da simetria. Veja algumas de suas obras e entenda o motivo:
Angel-Devil (1941)
Bird (1941)

Pegasus (1959)
Aprecie outras obras do Escher aqui, no site oficial.

O Enem cobra do aluno que ele saiba entender e perceber a simetria das figuras e as transformações geométricas que originam figuras simétricas. Eu sou totalmente favorável a essa linha, pois estimula esse aprendizado tão relevante para a vida cotidiana das pessoas. Entretanto, ao fazer as provas do Enem, a maioria dos alunos fracassa nessas questões, justamente por não terem uma fundamentação correta sobre o assunto.

Em vista disso, estou publicando um mini curso em 3 aulas sobre Simetrias no Enem. A ideia é capacitar os alunos para que eles não mais enfrentem dificuldades nessas questões.

A aula 1 do curso de simetria nas provas do Enem é sobre a reflexão. A simetria por reflexão pode acontecer em relação a uma reta ou em relação a um ponto. Se for em relação a uma reta, tudo ocorre como se houvesse um espelho plano (o objeto e a imagem são os elementos simétricos, em relação ao espelho) como referência.
simetria por reflexão em relação a uma reta

Esse "espelho" é chamado de eixo de simetria e é a mediatriz de todo segmento cujas extremidades sejam um determinado ponto do objeto e o seu simétrico na imagem. Se for em relação a um ponto, esse ponto é chamado de ponto de reflexão e ele é o ponto médio de todo segmento cujas extremidades sejam um determinado ponto do objeto e o seu simétrico na imagem.
simetria por reflexão em relação a um ponto

É uma simetria mais difícil, justamente por ser menos intuitiva e menos presente no cotidiano das pessoas.
Assista à essa primeira aula de simetria, aprenda tudo sobre reflexão e veja as questões resolvidas do Enem.

Havendo qualquer dúvida ou algo pra falar, deixe nos comentários! Bons estudos!


quarta-feira, 24 de setembro de 2014

Aula 4 de Geometria Analítica - Circunferência (parte 1)

A videoaula 4 inicia o estudo da circunferência na G.A. Pode parecer precipitado para quem está acostumado a ver circunferência apenas depois do estudo das retas (a larga maioria dos livros e materiais didáticos fazem isso) mas refletindo um pouco, note que é o momento perfeito. Na videoaula anterior estudamos a distância entre dois pontos, e a equação reduzida da circunferência nada mais é do que uma aplicação dessa ferramenta.
Além disso, introduzindo a circunferência logo no início, é possível abordar um leque maior de exercícios, tornando a circunferência mais natural para o estudante.

A equação reduzida da circunferência


Dados os pontos \( C({ x }_{ c };{ y }_{ c }) \), centro da circunferência, e  \( P(x; y) \), ponto genérico na circunferência, impomos que distância CP seja o raio R. Assim, \[{ (x-{ x }_{ c }) }^{ 2 }+{ (y-{ y }_{ c }) }^{ 2 }={ R }^{ 2 }\] que é a equação reduzida da circunferência de centro  \( C({ x }_{ c };{ y }_{ c }) \) e raio \( R \).

Assista à videoaula 4 e aprenda tudo sobre esse importante elemento da geometria analítica. Pratique bastante a interpretação da equação reduzida, para obter centro e raio com desenvoltura, e também pratique muito escrevê-la a partir do centro e raio conhecidos.

Aproveite bastante. Bons estudos!

sábado, 20 de setembro de 2014

Aula 3 de Geometria Analítica - Distancia entre dois pontos.

Boa tarde, turminha!
A aula 3 do curso de Geometria Analítica é sobre distância de ponto a ponto (distância entre dois pontos). É uma das ferramentas mais úteis da G.A. pois permite que se determine o comprimento de qualquer segmento. E extremamente simples de se trabalhar, pois trata-se de uma aplicação do teorema de Pitágoras.
Em geral os alunos não percebem que se trata de uma aplicação do Teorema de Pitágoras e sofrem para decorar a "fórmula da distância". A distância AB entre os pontos A e B é dada por \[ { AB }^{ 2 }={ (\Delta x) }^{ 2 }+{ (\Delta y) }^{ 2 } \] com \( \Delta x={ x }_{ B }-{ x }_{ A } \) e \( \Delta y={ y }_{ B }-{ y }_{ A } \).

Isso equivale, exatamente, a dizer que \[ AB=\sqrt { { ({ x }_{ B }-{ x }_{ A }) }^{ 2 }+{ ({ y }_{ B }-{ y }_{ A }) }^{ 2 } } \]
A diferença entre as duas maneiras de apresentar essa ferramenta é meramente didática: enquanto a primeira maneira deixa mais claro para o aluno que se trata de uma aplicação do teorema de Pitágoras, a segunda esconde isso. Assim, em geral o aluno tende a decorá-la como uma fórmula "nova" e provavelmente a esquecerá assim que parar de usar.
Ao final da aula, são resolvidos alguns exercícios como exemplo. Aproveite! Bons estudos!

terça-feira, 16 de setembro de 2014

Aula 2 de Geometria Analítica - Ponto médio e Baricentro

Olá galera! A aula 2 do curso de Geometria Analítica é sobre ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo. Nessa aula eu mostro que a determinação do ponto médio é algo que deveria ser intuitivo e não uma fórmula que se esquece duas semanas depois.

      Quando somos apresentados a uma fórmula "nova", o cérebro reage a ela de uma forma específica que faz com que ela seja esquecida se não for usada/praticada. Acontece que o conceito de "tirar a média" não é algo novo! Ou pelo menos, não deveria ser.
      Desde que entramos na escola, e começamos a ter duas provas por bimestre, que a criança aprende a calcular "quanto precisa pra ficar com média" ou "qual será minha média". Não há, na minha visão, motivo para que a determinação do ponto médio de um segmento seja visto como uma fórmula "nova". Isso é totalmente contraproducente para o aluno e para a qualidade do ensino.
      Basta saber que ponto médio M de um segmento AB é a média dos dois pontos A e B, extremidades do segmento AB. Em outras palavras, \[ M=\frac { A+B }{ 2 } \]
      E no caso do baricentro G de um triângulo ABC, ele também é a média dos três pontos A, B e C, vértices do triângulo ABC. Em outras palavras,  \[ G=\frac { A+B+C }{ 3 } \]
      Assista à aula 2 para consolidar esses conceitos.

Editado (04/10/14): Pratique o que foi aprendido nessa aula com uma lista de exercícios especialmente preparada para isso.

segunda-feira, 15 de setembro de 2014

Curso de Geometria Analítica - Videoaulas

Olá galera, sejam bem-vindos! Estou iniciando um novo projeto, disponibilizando videoaulas no meu canal do Youtube. Escolhi Geometria Analítica (GA) para começar pela imensa dificuldade que os alunos tem com esse tema. Acredito que posso contribuir com toda minha experiência.

A aula 1 é sobre os detalhes preliminares da GA, como plano cartesiano, pontos no plano e os pontos especiais (sobre o eixo x, eixo y, e nas bissetrizes dos quadrantes). 


Os exercícios abordados nessa aula são os seguintes:

1) Um ponto tem ordenada 6 e está na bissetriz dos quadrantes pares. Que ponto é esse?
2) O ponto A = (k + 2, 2k) está no eixo y. Determine o ponto A.
3) O ponto B = (k + 2, 2k) está na bissetriz dos quadrantes ímpares. Determine o ponto B.
4) O ponto C = (k + 2, 2k) está no eixo x. Determine o ponto C.

Inscreva-se no meu canal, curta os videos e aproveite bastante. Fique a vontade para comentar sobre a aula.

Grande Abraço,

Prof. Eloy

Editado (04/10/14): Pratique o que foi aprendido nessa aula com uma lista de exercícios especialmente preparada para isso.

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